随机波动率微笑模型及套利

与BS模型假设不同,隐含波动率ω (t, t + h) 在很大程度上取决于日历时间t 、到期期限 h 和期权的货币性,隐含波动率曲面呈现明显的微笑或倾斜的特征。

Vanna-Volga模型,SVI模型,SABR模型都可以用来拟合隐含波动率微笑。

通过模型刻画的隐含波动率与通过BS公式反算的隐含波动率进行对比,找到每日最被低估和高估的期权合约,分别买入和卖出。通过合约的持仓数量,形成 delta 中性,从而赚取波动率估值回归的收益。

结果显示,在看涨期权季月合约上进行波动率套利有不错效果,三种模型年化收益率都超过20%。

在期权世界中,波动率可以简单的分为历史波动率、隐含波动率、已实现波动率三大类,分别对应着过去的波动率、隐含在期权价格中的波动率(也被称之为预期波动率)以及实际的波动率。对于这三种波动率的理解对于期权交易来说是至关重要的,这不仅可以用于期权的定价,还可以用于直接的波动率交易,包含波动率的方向性交易及波动率的套利交易。

历史波动率是基于过去的统计分析得出的,假定未来是过去的延伸,利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益系列的标准差。

标准差是衡量风险的常用标准,是与时间期限相关的概念,例如日标准差、周标准差、月标准差、年标准差等等。波动率公式在风险评价中,常用的是年标准差。

1。根据计算周期(交易周期;周、月、季度、年均指日历周期) 在所选时间段内拆分出N个区间(头尾包含的不完整日历周期舍去)。

3。 如果所选收益率计算方法是“普通收益率”则以“”作为区间内的收益率;如果所选收益率计算方式是“对数收益率”则以“”作为区间内的收益率。

隐含波动率(Implied Volatility)是将市场上的期权或权证交易价格代入权证理论价格模型Black-Scholes模型,反推出来的波动率数值。

中国波指(000188.SH),简称iVIX指数,是由上海证券交易所发布,用于衡量上证50ETF未来30日的波动预期。该指数是根据方差互换原理,结合50ETF期权的实际运作特点,并通过上海证券交易所交易的50ETF期权价格的计算编制而成。

iVIX指数通过反推当前在交易的期权价格中蕴含的隐含波动率,反映出未来30日标的50ETF价格的波动水平。

iVIX指数由6月26日第一次公布,起始日为上证50ETF期权上市之日2月9日,上交所向市场实时发布iVIX行情数据,帮助投资者实时分析市场情绪。

完成近月波动率σ1与次近月波动率σ2的计算之后,采用以下公式计算上证 50 ETF 波动率指数:

已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波动率,又称为日内波动率或高频波动率。高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。还有一类数据叫超高频数据,即人们获得的股票市场、外汇市场、期货市场实时的每笔成交数据。超高频数据的时间间隔是不一定相等的,具有时变性,它是交易过程中实时采集的数据,或称逐笔数据(tick-by-tick data)。Garman & Klass(1980)提出了日内波动率的一种估算方法—Ohlc;Andersen,Bollerslev(1998)提出使用日内高频股价数据,可以获得对日波动率更精确的描述,并由此建立了一种基于高频股价数据的已实现波动率测度方法。由于高频数据中蕴含了比低频数据更多的市场波动信息,因此基于高频数据的波动率测度一定是一种更为真实的市场波动描述。已实现波动率的计算不需要复杂的参数估计方法,无模型、计算简便,在一定条件下是积分波动率(已实现波动率的概率极限)的无偏估计量,近年来在高频领域中获得了广泛的应用。

六十年代早期以来,人们开始注意到资产收益具有尖峰分布的性质,特别是 Mandelbrot(1963)、 Fama(1963, 1965)的发现。

其结果是,大量的论文应用肥尾的独立同分布,如Prantian分布或者Levy 分布,为资产收益建模。

事实上,波动率群集和资产收益肥尾是密切相关的,后者事实上是一个静态的解释。

而ARCH 模型的主要作用是给出了动态(条件)波动率行为和(无条件)肥尾间的正式联系。

由Engle(1982)提出,并且此后获得大量扩展的 ARCH 模型及 SV 模型,主要就是用于模拟波动率群集的。

被Black(1976)称为杠杆效应的现象指股票价格运动和波动率呈负相关。

因为下跌的股票价格暗示公司财务杠杆提高,人们相信这意味着更多的不确定性及更高的波动率。

然而,Black(1976), Christie(1982)及 Schwert(1989)的实证证据表明,杠杆效应自身作用太小,不足以解释股票价格中发现的不对称性。

一般来说,波动率是高度持续性的。特别是对于高频率数据,证据表明条件方差过程具有接近单位根的行为。

在ARCH 文献中,关于股票市场、商品、外汇和其它资产价格序列的 GARCH

这些发现导致了一场争论,即条件方差过程持久性的建模是通过单位根还是长期记忆过程。

资本市场的全球化是否提高了价格的波动率和股票收益的相关性已经成为最近许多研究的主题,包括 von Fustenberg 和 Jean (1989),

如果市场中的期权价格满足Black-Scholes 公式,则对应于相同资产的各种期权的所有Black-Scholes隐含波动率将和标的资产的波动率参数σ 相一致。

隐含波动率ω(t,t + h) 在很大程度上取决于日历时间t、到期期限 h 和期权的货币性。

1。 标准BS模型假定标的资产价格服从几何布朗运动。但是大量实证检验发现,现实市场中,金融资产的收益率分布呈现尖峰肥尾的特征。这种分布下,收益率出现极端值的概率远高于正态分布,而在公式中采用收益率正态分布的前提假设,会大大低估到期时期权价值变为实值与虚值出现的概率,相应也低估了深度实值和深度虚值期权的价格。

2.BS模型忽略了现实市场上资产价格在一定冲击下发生跳跃的可能。例如价格在期权临近到期前发生跳跃,且交易方根据变化后的价格调整标的资产头寸并持有到期,到期时复制组合与期权价值将可能出现较大偏差,使得期权一方面临额外风险。这种风险无法分散化,空方必须要求相应补偿,造成期权市场价格对理论价格的溢价。

3。 深度虚值期权需求大于供给。深度虚值期权权利金低,获利概率低,但收益率高,这种特性使得它具有很强的避险功能,适合对抗极端风险。市场对于深度虚值期权有一定的需求,而供给相对不足,虚值期权市场的流动性有限,从而推高了虚值期权的价格。

当 BS 隐含波动率被用来评估具有不同执行价 K 和到期期限 h 的新期权时,这可能在期权定价和保值中产生偏差。

其次,微笑下降的幅度是到期期限的函数,实际情况显示,当到期期限增加时,波动率消除了条件异方差,从而减少微笑现象。

最后,偏度本身也可以被归因于波动率过程的随机特征以及该过程与价格过程(所谓的杠杆效应)的整体相关性。事实上,这个效应对股票价格数据是很明显的,但是对利率和汇率序列却是很小的,这就是为什么微笑的偏度在以股票为标的期权时更常见。

关于解释微笑及其偏度的其它论据(跳跃,交易成本,买卖差价,非同步交易,流动性问题, …)在理论上和实证上都应加以考虑。例如,实证证据表明最昂贵的期权(微笑曲线的上部)也是最小流动性的期权;因此偏度或许可归因于期权市场中流动性的特殊结构形式。

事实上,当短期波动率很低的时候,实值期权的隐含波动率的期限结构是向上倾斜的,反之则向下倾斜(Stein(1989))。

Taylor 和 Xu (1994)发现外汇期权隐含波动率的期限结构每几个月都要改变一次斜率方向。

Stein(1989)也发现中短期隐含波动率的实际敏感度比预测期限结构得到的估计敏感度要更大一些,并且得出中期隐含波动率对信息具有过度反应的结论。 Diz 和 Finucane(1993)运用不同的估计技术拒绝了过度反应假设,同时报告了反应不足的证据。

隐含波动率ω(t,t + h) 在很大程度上取决于日历时间t、到期期限 h 和期权的货币性。

Vega衡量标的资产价格波动率变动时,期权价格的变化幅度,是用来衡量标的价格的波动率的变化对期权价值的影响。

Vanna-Volga方法认为,不同行权价格的期权Vega,Vanna,Volga暴露不一,而这三个希腊字母风险正是导致期权价格偏离BS模型价格的原因。

通过构建能够对冲给定期权相对平值期权的Vega,Vanna,Volga变化的期权组合,我们就能通过复制成本确定期权的合理价格。

4。 策略操作 :用vanna-volga模型刻画隐含波动率为微笑,从中选取最被高估和最被低估的合约。

买入被低估的合约,卖出被高估的合约,调整合约配比使策略满足delta中性。

4。 策略操作 :用SABR模型刻画隐含波动率为微笑,从中选取最被高估和最被低估的合约。

买入被低估的合约,卖出被高估的合约,调整合约配比使策略满足delta中性。

SVI模型可直接用于刻画期权隐含波动率微笑,模型对不同情况的隐含波动率微笑拟合效果都不错。

Heston模型是一个经典的随机波动率模型,它考虑了波动率与标的资产价格回报之间的相关性。

相关性参数的刻画尤为重要,它反映了价格变动的偏度,也很大程度上显示了价格回报尖峰厚尾的特点。

Gatheral(2011)证明,随着期权到期时间增长,SVI模型收敛到Heston随机波动率模型。

那么模型参数估计就变成了对a,d,c的线性参数估计(内层)和对m,的非线性参数估计(外层)。

内层通过SLSQP算法求解,外层通过Nelder-Mead算法进行估计。

4。 策略操作 :用SVI模型刻画隐含波动率为微笑,从中选取最被高估和最被低估的合约。

买入被低估的合约,卖出被高估的合约,调整合约配比使策略满足delta中性。

在2015年,所有模型都能获得不错收益,而在之后,SABR与SVI模型逐渐失效。vanna-volga方法虽然在2015年表现并不突出,但它能够2015~2018持续获利,因此我们认为vanna-volga方法在三种方法中表现最优。

值得一提的是,季月合约由于流动性有限,因此实际操作时可能因为冲击成本过大而导致套利空间进一步压缩,同时因为可成交量不足从而缺乏实际操作的吸引力。因此本报告的意图更多的是为读者一些波动率套利的方法论。

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个股期权认购-认沽平价公式与波动率微笑

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设欧式认购期权当前价格为c,欧式认沽期权当前价格为p,其执行价都为K,当前时刻为0时刻,到期日都为T时刻,市场无风险利率为常数r,标的股票价格为S,在0-T时间段内不支付股利,则成立以下认购-认沽期权平价公式:

需要指出的是,认购-认沽平价公式是由无套利原理保证的,和用哪种期权定价模型无关。具体构造无套利组合方法如下:

组合A:一股执行价为K、到期日为T的欧式认购期权+在T时刻收益为K的零息债券;

有了认购-认沽平价公式,我们接着引入一个概念叫波动率微笑。波动率微笑是指描述期权隐含波动率与执行价格K的函数关系的图形。所谓隐含波动率,是将市场上的期权交易价格代入期权理论定价模型(Black-Scholes模型)从而反推出来的波动率数值。我们在为期权做理论定价时用的波动率是标的股票历史波动率统计值,而实际交易价格和理论价格往往存在差异,也就是说,实际交易价格中隐含的标的股票波动率往往和它的历史波动率不一样。一般来说,Black-Scholes定价模型中假设股价波动率是常数(由历史数据测得),在实际中往往低估了标的股票的波动率。对于股票期权来说,行权价格K越高,隐含波动率越小,当行权价K趋于正无穷时,隐含波动率也趋近于0。下图是个股期权的波动率微笑:

若要追溯起源,其实“波动率微笑”这个提法一开始是在外汇期权中引入的。对于外汇期权来说,虚值期权和实值期权的波动率高于平值期权的波动率,使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形,也就是微笑的嘴形,故而取名波动率微笑。下图是外汇期权的波动率微笑:

对于波动率微笑,以下结论成立:对同一标的、执行价相同、期限相同的认购期权与认沽期权有着相同的波动率微笑。夏普

这一结论可以由认购-认沽期权平价公式很方便地推出。我们之前说过,认购-认沽平价公式是由无套利原理保证的,和用哪种期权定价模型无关。因此无论对于BS公式推出的理论价格还是实际交易中的实际价格,平价公式都成立:

这个式子说明,当采用BS模型对具有相同期限与执行价格的认购、认沽期权定价时,公式所产生的误差应完全相同。这说明了波动率微笑对于认购、认沽期权来说是一样的。因此,我们在交易过程中谈及波动率微笑时,无需指明它是针对认购期权还是认沽期权。

最后我们来简单说说个股期权波动率微笑存在原因。国内外专家对此都做过很多研究,但并没有得出非常统一明确的结论,但谈论的比较多的原因主要有以下两条:

1、杠杆效应:当公司股票价格下跌时,公司杠杆效应增加(权益市值相比债务市值缩小),这意味着股票风险增大,因此波动率增加;当公司股票价格上涨时,公司杠杆效应减少,因此波动率会变小。

2、对市场暴跌的恐惧:当公司股票价格下跌时,投资者因为害怕市场崩盘,潜意识里给予股票价格更高的波动率。

假设现在是2月27日,对于执行价为12元、3月到期的上汽集团600104股吧)认购-认沽期权,设当前无风险利率为4%,根据无套利原理,应有认购-认沽平价公式成立:

带入数据,左边=1.606+12*e(-0.04*28/365)=13.569,右边=0.331+12.70=13.031,因此,理论上应该卖空左边的组合,做多右边的组合。具体步骤如下(都假设以一股为单位操作):

卖出一股认购期权,得到1.600元(对应买价),同时通过28天期正回购借入11.441元(因为是以一股举例,所以假设可以进行这么小单位的正回购),年化利率为4%;花0.331元买入一股认沽期权,再花12.71元(对应卖一价)元买入一股上汽集团股票。这些操作都是自融资的,即除保证金和担保证券外不需要缴纳额外费用。在到期日3月26日,若上汽股价大于12元,认购期权被执行,套利交易者以执行价卖出之前买入的上汽股票行权,得到12元,正回购到期归还11.441* (1+0.04*28/365)=11.476元,净赚12-11.476=0.52元;若上汽股价小于12元,波动率公式认沽期权被执行,套利交易者同样以执行价卖出之前买入的上汽股票行权,得到12元,正回购到期归还11.441* (1+0.04*28/365)=11.476元,净赚12-11.476=0.52元。

当然在实际交易中还要考虑到保证金和担保证券的持有成本、交易的冲击成本,如果要融券还要考虑融券成本等等,因此套利未必能一定成功。